2do Parcial

Sistemas númericos

Los números se pueden representar en distintos sistemas de numeración que se diferencian entre sí por su base. Así el sistema de numeración decimal es de base 10, el binario de base 2, el octal de base 8 y el hexadecimal de base 16. el diseño de todo sistema digital responde a operaciones con números discretos y por ello necesita utilizar los sistemas de numeración y sus códigos. En los sistemas digitales se emplea el sistema binario debido a su sencillez.

Cualquier número de cualquier base se puede representar mediante la siguiente ecuación polinómica:
N=a1.bⁿ+a2.bⁿ‾¹+a3.bⁿ‾²+...+a0.bº+a-1.b‾¹

Siendo “b” la base del sistema de numeración. Se cumplirá que “b”>1; a! es un número perteneciente al sistema que cumple la siguiente condición: 0≤a!
Sistema Decimal

Su origen lo encontramos en la India y fue introducido a España por los Árabes. Su base es 10. Emplea 10 caracteres o dígitos diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su posición dentro de la cantidad a la que pertenece. Ejemplo:
13610= 1.10²+3.10¹+6.10º = (100)+ (30)+ (6)=136

Sistema Binario

Es el sistema digital por excelencia aunque no es el único, debido a su sencillez. Su base es 2. Emplea 2 caracteres: 0, 1. estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios) así podemos decir que la cantidad 10011 esta formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo como se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la expresión polinómica dará su equivalente en el sistema decimal:
100112= 1.104+0.10³+0.10²+1.10¹+1.10º
= 10000+0+0+10+1
= 10011

Sistema Octal

Posee 8 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8, este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión al sistema binario resulta muy sencilla ya que 8=2³. Así para convertir un número de base 8 a binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario de 3 bits.

Sistema Hexadecimal

Esta compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se piden expresar en 4 bits binarios al ser 16=24. Los restos obtenidos en cada división (0, 1) forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente al primer resto.

Conversiones Binarias

La forma más simple es dividir sucesivamente el número decimal y los cocientes que se van obteniendo por 2 hasta que el cociente en una de las divisiones se haga cero. Ejemplo:

1010-> Binario

División Resultado Sobra
10/2 5 0
5/2 2 1
2/2 1 0
1/2 0 1
0/2 0 0

1010=10102

Ejercicio: 2310-> Binario 2310= 101112

División Resultado Sobra
23/2 11 1
11/2 5 1
5/2 2 1
2/2 1 0
1/2 0 1
0/2 0 0

Conversión Binario a Decimal

El método consiste en reescribir el número binario en posición vertical de tal forma que la parte de la derecha que de la zona superior y la parte de la izquierda quede en la parte inferior. Se suma el dígito al producto de 2 con resultado de la operación anterior, teniendo rn cuenta para el primer dígito el resultado de la operación es cero. Ejemplo:

1010112->4310
1+2*21=43
1+2*10=21
0+2*5=10
1+2*2=5
0+2*1=2
1+2*0=1

Ejercicio: 111100002-> Decimal 111100002=24010
0+2*120=240
0+2*60=120
0+2*30=60
0+2*15=30
1+2*7=15
1+2*3=7
1+2*1=3
1+2*0=1

Conversiones
Decimal- Octal
1010->Octal Resultado Sobra
10/8 1 2
1/8 0 1 1010=128
0/8 0 0

Octal- Decimal
10778-> Decimal
7+8*71=575
7+8*8=71 10778=57510
0+8*1=8
1+8*0=1

10778= (1*8³+0*8²+7*8¹+7*8º)
= (512+0+56+7)
= 57510

Decimal-Hexadecimal
913110->Hexadecimal Resultado Sobra
9131/16 570 B
570/16 35 A
35/16 2 3
2/16 0 2
0/16 0 0
913110=23AB16

Hexadecimal-Decimal
AB116->Decimal
1+16*171=2737
A+16*10=171 AB116=273710
B+16*0=10

Tabla De Conversiones
Decimal Hexadecimal Binario Octal
0 0 0000 000
1 1 0001 001
2 2 0010 002
3 3 0011 003
4 4 0100 004
5 5 0101 005
6 6 0110 006
7 7 0111 007
8 8 1000 010
9 9 1001 011
10 A 1010 012
11 B 1011 013
12 C 1100 014
13 D 1101 015
14 E 1110 016
15 F 1111 017

Utilización de la tabla de conversión

Para convertir de números binarios a hexadecimal se separan de 4 en 4 de derecha a izquierda y en el proceso inverso (hexadecimal-binario) se separa de uno por uno de derecha a izquierda tomando 4 dígitos binarios.

Para la conversión de binario a octal se separan de 3 en 3 los dígitos binarios de derecha a izquierda y en el caso contrario de octal a binario se toma un dígito binario y su equivalente en octal.

Binario->Hexadecimal
111100002->FO16

1111 0000
| |
F O

Hexadecimal->Binario
FO16->111100002

F O
| |
1111 0000

Binario->Octal
11001110002->31708

11 001 111 000
| | | |
3 1 7 0

Octal->Binario
7378->111001101112

7 3 7
| | |
0111 0011 0111



Suma en binario
+ 0 1
0 0 1
1 1 0 + 1

Sustracción en binario

- 0 1
0 0 1
1 1 + 1 0

Multiplicación binaria

x 0 1
0 0 0
1 0 1

(Es lo contrario a la división)

*Suma*
110000
+ 10100
________
1000100

*Resta*
11100001
- 100010
__________
10111111

*División*
101010
_________
101|11010101
00110
00110
0011
11

*Multiplicación*
110011
*100
__________
000000
000000
110011
___________
11001100